Награды и достижения

Грамота мигистерства сельского хозяйства о работе по образованию.

Участие в профессиональных ассоциациях и объединениях

Участие в конференциях

Много лет участвует в Международной научной конференции " Математические методы в технике и технологиях" и Международной конференции " CPPIM" (Сербия Нови-Пазар."

Образование и повышение квалификации

Дважды за 2016-2017 получил удостотверения о повышении квалификации.

Прочие достижения

Исследовательские интересы

Математическое моделирование стохастических явлений переноса теплоты, массы и энергии, проблемы экологии.

Исследовательские проекты

Аспиранты

нет

Философия преподавания

Автор учебников и программ по математике и физике.

Контрольные работы,

№

Условие задачи

Варианты ответов

1

Вероятность события  располагается в пределах:

1) ;   2) ;

3) ;   4) .

2

Вероятность успеха  в формуле Бернулли располагается в пределах:

1) ;   2) ;

3) ;   4) .

3

Формулой Бернулли называется формула:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

1) а);

2) б);

3) в);

4) г);

5) д).

4

Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях – это:

а) самое маленькое из возможных чисел;

б) самое большое из возможных чисел;

в) число, которому соответствует наименьшая вероятность;

г) число, которому соответствует наибольшая вероятность.

1) а);

2) б);

3) в);

4) г).

5

Если вероятность наступления события А в каждом испытании равна 0,25, то для нахождения вероятности того, что событие А наступит от 215 до 300 раз в 1000 испытаниях, вы воспользуетесь:

1) формулой Бернулли;

2) формулой Пуассона;

3) локальной теоремой Муавра-Лапласа;

4) интегральной теоремой Муавра-Лапласа;

5) формулой Байеса.

6

Из какого неравенства определяется наивероятнейшее число т0 наступления события в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р?

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

7

Указать формулу, которая используется для вычисления дисперсии случайной величины X.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

8

К случайной величине X прибавили число а.

Как от этого изменится ее дисперсия?

1) Прибавится слагаемое а.

2) Прибавится слагаемое а.

3) Не изменится.

4) Умножится на а.

9

Случайную величину X умножили на постоянный множитель k.

Как от этого изменится её математическое ожидание?

1) Умножится на k.

2) Умножится на |k|.

3) Не изменится.

4) Прибавится слагаемое k.

Комбинаторика

№

Задания

1

Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «ЧИСЛО»?

2

Сколькими способами можно выбрать три различных краски из имеющихся пяти?

3

Сколькими способами можно составить трёхцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал 5 различных цветов?

4

Сколькими способами можно составить трёхцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал 5 различных цветов и одна из полос должна быть белой?

5

На первой этаже одиннадцатиэтажного дома в лифт вошли 3 человека. Сколькими способами пассажиры лифта могут распределиться по этажам этого дома?

6

Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если любая цифра может повторяться несколько раз?

События. Операции над событиями

№

Задания

Варианты ответов

1

Какое из перечисленных выражений означает появление ровно одного из трёх событий А, В, С:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1) а);

2) в);

3) г);

4) б);

5) д).

2

Какое из перечисленных выражений означает появление хотя бы одного из трёх событий А, В, С:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1) д);

2) б);

3) а);

4) г);

5) в).

3

Какое из перечисленных выражений означает появление всех трёх событий А, В, С одновременно:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1) д);

2) а);

3) г);

4) б);

5) в).

4

Какое из перечисленных выражений означает появление ровно двух их трёх событий А, В, С:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

1) д);

2) а);

3) б);

4) в);

5) г).

Геометрическое определение вероятности

№

Задания

1

Если на светофоре 90 сек горит зелёный свет и 60 сек – красный, то вероятность p, что автомобиль, подъехав к светофору, не сделает остановки равна... В ответ запишите величину 10р.

2

Если на участке между 40-ым и 70-ым километрами телефонной линии произошёл обрыв, то вероятность р того, что разрыв линии находится между 50-ым и 55-ым километрами равна....

В ответ запишите величину 12р.

3

Все динамики вокзала каждые 3 мин передают одно и то же объявление. Найти вероятность того, что пассажир, пришедший на вокзал в случайный момент времени, услышит это объявление не позднее, чем через 1 мин после прихода. В ответ записать число 10р.

4

Если в круг вписан квадрат и внутрь круга наудачу брошена точка, то вероятность р попадания точки внутрь квадрата равна...

В ответ запишите величину пр.

5

На отрезке АВ длиной 20 см наудачу поставлена точка М. Найти вероятность р того, что площадь круга радиуса AM будет больше величины 9π. В ответ записать число 10р.

6

В круг вписан квадрат. Найти вероятность того,

что случайно брошенная в круг точка окажется внутри квадрата:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

7

На отрезке [0,1] наугад выбраны два числа х и у. Найти вероятность того, что расстояние от точки плоскости (х, у) до начала координат больше числа 1:

а) ;     б) ;     в) ;     г) ;     д) .

8

Центр круга единичного радиуса находится в одной из вершин квадрата, длина стороны которого равна 1. Найти вероятность р того, что точка, брошенная наугад в круг, окажется внутри квадрата:

а) ;     б) ;     в) ;     г) ;     д) .

Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей

№

Задания

Варианты ответов

1

Условная вероятность Р(А/В) это:

а) вероятность одновременного наступления событий А и В;

б) вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло;

в) вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В уже произошло;

г) вероятность наступления по крайней мере одного из событий А и В;

д) вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В не может произойти.

1) а);

2) в);

3) г);

4) б);

5) д).

2

Условная вероятность Р(А/В) вычисляется по формуле:

а) ;     б) ;     в) ;     г) ;     д) .

1) а);

2) в);

3) г);

4) б);

5) д).

3

Чему равна условная вероятность Р(А/В), если А и В – независимые события:

а) ;  б) ;  в) ;  г) ;  д) .

1) д);

2) а);

3) г);

4) б);

5) в).

4

Вероятность совместного наступления n событий А1, А2, …, Аn вычисляется по формуле:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

1) д);

2) а);

3) б);

4) в);

5) г).

5

Если А1, А2, …, Аn – независимые события, то вероятность их совместного наступления задается формулой:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

г) .

1) а);

2) д);

3) б);

4) г);

5) в).

Теорема сложения вероятностей.
Вероятность противоположного события

№

Задания

Варианты ответов

1

Вероятность наступления хотя бы одного из двух событий А и В вычисляется по формуле

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1) а);

2) в);

3) г);

4) б);

5) д).

2

Студент знает 14 вопросов программы из 20. В билете содержится 3 вопроса. Чему равна вероятность того, что студент ответит не менее чем на два вопроса из трех?

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1) д);

2) а);

3) г);

4) б);

5) в).

3

Из колоды, содержащей 36 карт, достают наугад три карты. Чему равна вероятность того, что среди них будет не более одного туза?

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1) д);

2) а);

3) б);

4) в);

5) г).

4

В денежно-вещевой лотерее на серию в 100 билетов приходится 12 денежных и 8 вещевых выигрышей. Чему равна вероятность того, что из трех купленных билетов два окажутся выигрышными?

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1) а);

2) д);

3) б);

4) г);

5) в).

5

В первом ящике а белых и b черных шаров, во втором – с белых и d черных. Из каждого ящика одновременно и наугад достают по шару. Чему равна вероятность того, что оба шара черные:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1) а);

2) д);

3) б);

4) г);

5) в).

Приближенные формулы в схеме Бернулли

№

Формулировка вопроса

Варианты ответов

1

Если вероятность наступления события А в каждом испытании равна 0,002, то для нахождения вероятности того, что событие А наступит 3 раза в 1000 испытаниях, вы воспользуетесь:

1) формулой Бернулли;

2) формулой Пуассона;

3) локальной теоремой Муавра-Лапласа;

4) интегральной теоремой Муавра-Лапласа;

5) формулой Байеса.

2

Вероятность выпуска бракованного изделия равна 0,02. Какова вероятность того, чго среди 2500 выпущенных изделий окажется 50 бракованных, сели значение функции Гаусса  при , равно 0,3989.

1) 0,1045;

2) 0,86;

3) 0,0570;

4) 0,0172;

5) 0,3989.

3

Если вероятность наступления события А в каждом испытании равна 0,25, то для нахождения вероятности того, что событие А наступит от 215 до 300 раз в 1000 испытаниях, вы воспользуетесь:

1) формулой Бернулли;

2) формулой Пуассона;

3) локальной теоремой Муавра-Лапласа;

4) интегральной теоремой Муавра-Лапласа;

5) формулой Байеса.

4

Если вероятность наступления события А в каждом испытании равна 0,003, значение функции Пуассона  при ,  равно 0,1339, то вероятность того, что событие А наступит 4 раза в 2000 испытаниях, равна:

1) 0,1339;

2) 0,9999;

3) 0,2827;

4) 0,5935;

5) 0,6667.

5

Если вероятность наступления события А в каждом испытании равна 0,002, значение функции Пуассона  при ,  равно 0,1563, то вероятность того, что событие А наступит 5 раз в 2000 испытаниях, равна:

1) 0,085:

2) 0,02;

3) 0,1563;

4) 0,88;

5) 1,1723.

Дискретные случайные величины,
их числовые характеристики и свойства

№

Задания

Варианты
ответов

1

В партии из четырех деталей имеется две стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Найти математическое ожидание числа стандартных деталей среди отобранных.

1) 2;

2) 2,5;

3) 1;

4) 3;

5) 1,8.

2

Случайная величина X задана законом распределения:

0

5

0,1

0,2

0,7

Найти значение х2, если М(X) = 5,5.

1) 3;

2) 1;

3) 12;

4) 0,8;

5) 10.

3

Закон распределения дискретной случайной величины X задан таблицей:

1

2

3

4

1/16

1/4

1/2

3/16

Найти Р(X > 2).

1) 3/32;

2) 3/128;

3) 11/16;

4) 15/16;

5) 1/4.

4

Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

1

3

4

6

0,8

0,2

0,4

0,6

Найти вероятность того, что случайная величина Х + Y примет значение, равное 7.

1) 0,6;

2) 1,4;

3) 0,08;

4) 0,56;

5) 0,48.

5

В лотерее на 1000 билетов разыгрываются две вещи стоимости которых 100 и 500 денежных единиц. Найти математическое ожидание выигрыша и увеличить его в 100 раз.

1) 600;

2) 100;

3) 50;

4) 60;

5) 0.

6

Функция распределения дискретной случайной величины X имеет вид  располагается в пределах:

1) ;   2) ;

3) ;   4) .

2

Вероятность успеха  в формуле Бернулли располагается в пределах:

1) ;   2) ;

3) ;   4) .

3

Формулой Бернулли называется формула:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

1) а);

2) б);

3) в);

4) г);

5) д).

4

Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях – это:

а) самое маленькое из возможных чисел;

б) самое большое из возможных чисел;

в) число, которому соответствует наименьшая вероятность;

г) число, которому соответствует наибольшая вероятность.

1) а);

2) б);

3) в);

4) г).

5

Если вероятность наступления события А в каждом испытании равна 0,25, то для нахождения вероятности того, что событие А наступит от 215 до 300 раз в 1000 испытаниях, вы воспользуетесь:

1) формулой Бернулли;

2) формулой Пуассона;

3) локальной теоремой Муавра-Лапласа;

4) интегральной теоремой Муавра-Лапласа;

5) формулой Байеса.

6

Из какого неравенства определяется наивероятнейшее число т0 наступления события в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р?

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

7

Указать формулу, которая используется для вычисления дисперсии случайной величины X.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

8

К случайной величине X прибавили число а.

Как от этого изменится ее дисперсия?

1) Прибавится слагаемое а.

2) Прибавится слагаемое а.

3) Не изменится.

4) Умножится на а.

9

Случайную величину X умножили на постоянный множитель k.

Как от этого изменится её математическое ожидание?

1) Умножится на k.

2) Умножится на |k|.

3) Не изменится.

4) Прибавится слагаемое k.

Комбинаторика

№

Задания

1

Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «ЧИСЛО»?

2

Сколькими способами можно выбрать три различных краски из имеющихся пяти?

3

Сколькими способами можно составить трёхцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал 5 различных цветов?

4

Сколькими способами можно составить трёхцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал 5 различных цветов и одна из полос должна быть белой?

5

На первой этаже одиннадцатиэтажного дома в лифт вошли 3 человека. Сколькими способами пассажиры лифта могут распределиться по этажам этого дома?

6

Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если любая цифра может повторяться несколько раз?

События. Операции над событиями

№

Задания

Варианты ответов

1

Какое из перечисленных выражений означает появление ровно одного из трёх событий А, В, С:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1) а);

2) в);

3) г);

4) б);

5) д).

2

Какое из перечисленных выражений означает появление хотя бы одного из трёх событий А, В, С:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1) д);

2) б);

3) а);

4) г);

5) в).

3

Какое из перечисленных выражений означает появление всех трёх событий А, В, С одновременно:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1) д);

2) а);

3) г);

4) б);

5) в).

4

Какое из перечисленных выражений означает появление ровно двух их трёх событий А, В, С:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

1) д);

2) а);

3) б);

4) в);

5) г).

Геометрическое определение вероятности

№

Задания

1

Если на светофоре 90 сек горит зелёный свет и 60 сек – красный, то вероятность p, что автомобиль, подъехав к светофору, не сделает остановки равна... В ответ запишите величину 10р.

2

Если на участке между 40-ым и 70-ым километрами телефонной линии произошёл обрыв, то вероятность р того, что разрыв линии находится между 50-ым и 55-ым километрами равна....

В ответ запишите величину 12р.

3

Все динамики вокзала каждые 3 мин передают одно и то же объявление. Найти вероятность того, что пассажир, пришедший на вокзал в случайный момент времени, услышит это объявление не позднее, чем через 1 мин после прихода. В ответ записать число 10р.

4

Если в круг вписан квадрат и внутрь круга наудачу брошена точка, то вероятность р попадания точки внутрь квадрата равна...

В ответ запишите величину пр.

5

На отрезке АВ длиной 20 см наудачу поставлена точка М. Найти вероятность р того, что площадь круга радиуса AM будет больше величины 9π. В ответ записать число 10р.

6

В круг вписан квадрат. Найти вероятность того,

что случайно брошенная в круг точка окажется внутри квадрата:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

7

На отрезке [0,1] наугад выбраны два числа х и у. Найти вероятность того, что расстояние от точки плоскости (х, у) до начала координат больше числа 1:

а) ;     б) ;     в) ;     г) ;     д) .

8

Центр круга единичного радиуса находится в одной из вершин квадрата, длина стороны которого равна 1. Найти вероятность р того, что точка, брошенная наугад в круг, окажется внутри квадрата:

а) ;     б) ;     в) ;     г) ;     д) .

Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей

№

Задания

Варианты ответов

1

Условная вероятность Р(А/В) это:

а) вероятность одновременного наступления событий А и В;

б) вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло;

в) вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В уже произошло;

г) вероятность наступления по крайней мере одного из событий А и В;

д) вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В не может произойти.

1) а);

2) в);

3) г);

4) б);

5) д).

2

Условная вероятность Р(А/В) вычисляется по формуле:

а) ;     б) ;     в) ;     г) ;     д) .

1) а);

2) в);

3) г);

4) б);

5) д).

3

Чему равна условная вероятность Р(А/В), если А и В – независимые события:

а) ;  б) ;  в) ;  г) ;  д) .

1) д);

2) а);

3) г);

4) б);

5) в).

4

Вероятность совместного наступления n событий А1, А2, …, Аn вычисляется по формуле:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

1) д);

2) а);

3) б);

4) в);

5) г).

5

Если А1, А2, …, Аn – независимые события, то вероятность их совместного наступления задается формулой:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

г) .

1) а);

2) д);

3) б);

4) г);

5) в).

Теорема сложения вероятностей.
Вероятность противоположного события

№

Задания

Варианты ответов

1

Вероятность наступления хотя бы одного из двух событий А и В вычисляется по формуле

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1) а);

2) в);

3) г);

4) б);

5) д).

2

Студент знает 14 вопросов программы из 20. В билете содержится 3 вопроса. Чему равна вероятность того, что студент ответит не менее чем на два вопроса из трех?

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1) д);

2) а);

3) г);

4) б);

5) в).

3

Из колоды, содержащей 36 карт, достают наугад три карты. Чему равна вероятность того, что среди них будет не более одного туза?

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1) д);

2) а);

3) б);

4) в);

5) г).

4

В денежно-вещевой лотерее на серию в 100 билетов приходится 12 денежных и 8 вещевых выигрышей. Чему равна вероятность того, что из трех купленных билетов два окажутся выигрышными?

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1) а);

2) д);

3) б);

4) г);

5) в).

5

В первом ящике а белых и b черных шаров, во втором – с белых и d черных. Из каждого ящика одновременно и наугад достают по шару. Чему равна вероятность того, что оба шара черные:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1) а);

2) д);

3) б);

4) г);

5) в).

Приближенные формулы в схеме Бернулли

№

Формулировка вопроса

Варианты ответов

1

Если вероятность наступления события А в каждом испытании равна 0,002, то для нахождения вероятности того, что событие А наступит 3 раза в 1000 испытаниях, вы воспользуетесь:

1) формулой Бернулли;

2) формулой Пуассона;

3) локальной теоремой Муавра-Лапласа;

4) интегральной теоремой Муавра-Лапласа;

5) формулой Байеса.

2

Вероятность выпуска бракованного изделия равна 0,02. Какова вероятность того, чго среди 2500 выпущенных изделий окажется 50 бракованных, сели значение функции Гаусса  при , равно 0,3989.

1) 0,1045;

2) 0,86;

3) 0,0570;

4) 0,0172;

5) 0,3989.

3

Если вероятность наступления события А в каждом испытании равна 0,25, то для нахождения вероятности того, что событие А наступит от 215 до 300 раз в 1000 испытаниях, вы воспользуетесь:

1) формулой Бернулли;

2) формулой Пуассона;

3) локальной теоремой Муавра-Лапласа;

4) интегральной теоремой Муавра-Лапласа;

5) формулой Байеса.

4

Если вероятность наступления события А в каждом испытании равна 0,003, значение функции Пуассона  при ,  равно 0,1339, то вероятность того, что событие А наступит 4 раза в 2000 испытаниях, равна:

1) 0,1339;

2) 0,9999;

3) 0,2827;

4) 0,5935;

5) 0,6667.

5

Если вероятность наступления события А в каждом испытании равна 0,002, значение функции Пуассона  при ,  равно 0,1563, то вероятность того, что событие А наступит 5 раз в 2000 испытаниях, равна:

1) 0,085:

2) 0,02;

3) 0,1563;

4) 0,88;

5) 1,1723.

Дискретные случайные величины,
их числовые характеристики и свойства

№

Задания

Варианты
ответов

1

В партии из четырех деталей имеется две стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Найти математическое ожидание числа стандартных деталей среди отобранных.

1) 2;

2) 2,5;

3) 1;

4) 3;

5) 1,8.

2

Случайная величина X задана законом распределения:

0

5

0,1

0,2

0,7

Найти значение х2, если М(X) = 5,5.

1) 3;

2) 1;

3) 12;

4) 0,8;

5) 10.

3

Закон распределения дискретной случайной величины X задан таблицей:

1

2

3

4

1/16

1/4

1/2

3/16

Найти Р(X > 2).

1) 3/32;

2) 3/128;

3) 11/16;

4) 15/16;

5) 1/4.

4

Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

1

3

4

6

0,8

0,2

0,4

0,6

Найти вероятность того, что случайная величина Х + Y примет значение, равное 7.

1) 0,6;

2) 1,4;

3) 0,08;

4) 0,56;

5) 0,48.

5

В лотерее на 1000 билетов разыгрываются две вещи стоимости которых 100 и 500 денежных единиц. Найти математическое ожидание выигрыша и увеличить его в 100 раз.

1) 600;

2) 100;

3) 50;

4) 60;

5) 0.

6

Функция распределения дискретной случайной величины X имеет вид